【求广义积分Sin[x]/Sqrt[x]从0积到正无穷Integrate[Sin[x]/Sqrt[x],{x,0,Infinity}]即被积函数为Sin[x]/根号下x,从0积到正无穷.】
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问题描述：
求广义积分Sin[x]/Sqrt[x]从0积到正无穷
Integrate[Sin[x]/Sqrt[x],{x,0,Infinity}]
即被积函数为Sin[x]/根号下x,从0积到正无穷.
汤伟平回答：
令√x=t,则x=t²,dx=2tdt,则原积分变成2∫sin(t²)dt,上下限不变,再用欧拉公式sin(t²)=[e^(it²)-e^(-it²)]/2i
原式=-i∫[e^(-t²/i)-e^(-it²)]dt
=-i√i∫e^(-t²/i)d(t/√i)+√i∫e^(-it²)d(t√i)
=-i√i∫e^(-u²)du+√i∫e^(-v²)dv
最后两个积分上下限仍然是0到∞,只是在复平面上的∞
它们又等于(-i√i+√i)(√π)/2=(√2π)/2
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