【一道关于解三角形的数学题已知三角形abc为锐角三角形,角c等于60°,c=2,求a²+b²的取值范围?答案是（20/3,8]最大值8好算,就是最小值怎么算的啊?用锐角这个条件吗?】
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问题描述：
一道关于解三角形的数学题
已知三角形abc为锐角三角形,角c等于60°,c=2,求a²+b²的取值范围?答案是（20/3,8]最大值8好算,就是最小值怎么算的啊?用锐角这个条件吗?
刘武回答：
当然要考虑锐角三角形这个条件.
通常是设A=60°+α,B=60°-α,其中0°≤α＜30°,这个范围就是按锐角三角形制定的.
套余弦定理和正弦定理a²+b²=c²+2abcos60°,整理成三角函数式然后讨论最值.
简单方法可以借助几何知识确定所求的取值范围.
因为c=2,C=60°,所以C点的轨迹是以AB=2为弦圆周角等于60°的圆弧,
据公式a²+b²=c²+2abcos60°,以及S=(1/2)absin60°可知三角形的面积最大和最小时
a²+b²也最大或最小；
因为S=(1/2)ch,所以AB边上的高h的大小对应着a²+b²的大小.
显然,当⊿ABC是等边三角形时a²+b²获最大值2²+2²=8,
令C点沿圆弧向AB靠近而又不失为锐角三角形,极限位置是直角三角形,
这时一条直角边长2/√3,斜边4/√3,a²+b²=4/3+16/3=20/3.
注意,答案写作（20/3,8].
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