求解分段函数的八类问题
甘肃张掖二中彭万坤
分段函数作为特殊的函数,是高考数学中的一个难点,同时也是高考必考内容之一.本文就分段函数的有关问题的求解策略进行整理.归纳.
所谓“分段函数”,是指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数,对它的理解应注意两点:
(1)x09分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数;
(2)x09分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
一.求分段函数的函数值
求分段函数的函数函数值时,首先应确定自变量在定义域中的范围,然后按相应的对应法则求值.
例1.已知函数求(a<0).(答案为)
例2.已知函数(n∈N)则f(5)=.
(答案为8)
二.求分段函数的解析式
若所求函数的解析式在其定义域内所分区间内的对应法则不同,应分段来求函数的解析式.本类型题多与所给自变量的分类有关.
例3.已知奇函数f(x)(x∈R).当x>0时,f(x)=x(5-x).求f(x)在R上的解析式.(答案为)
例4.若函数f(x)=1-2a-2a��cosx-2(sinx)2的最小值为g(a).求g(a)的解析式.
解析:由f(x)=-1-2a-2a��cosx+2(cosx)2若令cosx=t
则f(t)=2t2-2at-2a-1.且t∈[-1,1]
在此属于二次函数定区间动轴问题,利用分类讨论的思想和数形结合的思想求其最小值g(a)的解析式.有
三.分段函数的图象
例5.若方程有四解,
则实数k的取值范围是.0
解析:如图可得o评析:若有三解呢?(k=4);若有两解呢?(k>4或k=0)
四.求分段函数的自变量的值或范围
在求分段函数的自变量的值或范围时,根据分类讨论的思想需列方程组或不等式组求解.
例6.在例4的问题中:若已知g(a)=,求a的值.
解析:根据题意有或
解得:a=1
例7.已知函数若f(x0)>1,则实数x0的取值范围是.
解析:根据题意有或解得:x0>1或x00,x=0,x