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给定一个集合A,|A|=n,求在A上有多少个不同的等价关系?
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问题描述:

给定一个集合A,|A|=n,求在A上有多少个不同的等价关系?

李渊回答:
  这个的答案是:贝尔数(BellNumber)   没有准确求出BellNumber的公式,只能递推.   A上的等价关系与集合A的划分一一对应,所以只要求出A的划分数即可.   所谓A的划分,是指把A分成子集A1、A2、……,这些集合非空、两两不相交、且并集为A.   每一个等价关系对应一个划分:元素a、b等价当且进当它们属于同一子集.   A的划分数就叫贝尔数B(n).   下面求贝尔数.   S(n,k)代表元素数量为n的集合A划分成k个子集的方法.   B(n)=S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,n)   主要的递推关系是求S(n,k)的.   S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)   这个公式的意思是这样:   把n个元素划分成k个子集,有两种情形:   1.最后一个元素an单独构成一个子集.   这相当于其它n-1个元素被划分成k-1个子集,然后再加上{an}这个子集.   所以,这种情形的数量是:S(n-1,k-1)   2.最后一个元素an不单独构成一个子集.   这相当于其它n-1个元素被划分成k个子集,然后再挑选一个子集(k种方式挑选)把an放入.   所以,这种情形的数量是:kS(n-1,k)   把1、2种情形相加,就是上面那个递推公式了.   为了用上面那个递推公式求出值来,还需要初始条件:   S(n,1)=S(n,n)=1   如果你想找更多的资料,可以看下面的链接.   在下面参考资料的链接中,我们这里的S(n,k)被称为:   二型斯特林数(StirlingNumberoftheSecondKind).
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