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【已知数列{an}的前n项和Sn满足S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点A】
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问题描述:

已知数列{an}的前n项和Sn满足S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点An(bn,an),Am(bm,am),Ak(bk,ak)落在圆C上?请说明理由.

曹丽婷回答:
  (I)∵Sn+1+2Sn=-1,∴Sn+2+2Sn+1=-1,   两式相减整理得an+2=-2an+1,   又a1=S1=-1,a2=-2a1,   ∴数列{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,   其通项公式是an=-(-2)n-1(n∈N*).   假设点列{An(bn,an)}中存在三点An(3n-4,-(-2)n-1),Am(3m-4,-(-2)n-1),Ak(3k-4,-(-2)k-1)(n>m>k≥1)落在圆C上.   因圆心C在x轴上,故可设圆C的方程为:x2+y2+Dx+F=0.…(10分)   从而9n2-24n+16+4n-1+(3n-4)D+F=0 ①   9m2-24m+16+4m-1+(3m-4)D+F=0 ②   9k2-24k+16+4k-1+(3k-4)D+F=0 ③   由①-②,②-③得9(n+m)(n-m)-24(n-m)+(4n-1-4m-1)+3(n-m)D=0④   9(m+k)(m-k)-24(m-k)+(4m-1-4k-1)+3(m-k)D=0 ⑤   由④-⑤整理得9(n-k)+4
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