【已知数列an满足a1=1,设该数列的前n项和为Sn,且Sn,Sn+1,2a1成等差数列,用数学归纳法证明：Sn=(2^n)-1/2^(n-1)】
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问题描述：
已知数列an满足a1=1,设该数列的前n项和为Sn,且Sn,Sn+1,2a1成等差数列,用数学归纳法证明：Sn=(2^n)-1/2^(n-1)
陆文凯回答：
证明:(1)当n=1时左边=S1=a1=1右边=（2^1-1)/[2^(1-1)]=1左边=右边所以不等式成立(2)假设当n=k时等式成立即Sk=(2^k-1)/[2^(k-1)]那么当n=k+1时因a1=1,且Sn,Sn+1,2a1成等差数列∴Sn+1＝1+1/2*Sn∴Sk+1={Sk+2a1}/2={(2^k-1)/[2^(k-1)]+2}/2然后分子分母通乘以2^(k-1）得Sk+1=(2^k-1+2^k)/2^k={2^(k+1)-1}/2^k所以Sk+1=(2^k+1-1)/2^k与原式相符合故等式成立
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