求函数y=cosX(sinX-2)的值域
1人问答
问题描述：
求函数y=cosX(sinX-2)的值域
罗丽回答：
方法1：
将要用到的公式：Asinx+Bcosx=√(A²+B²)sin(x+θ),其中tanθ=B/A①
原式等价于y(sinx-2)=cosx
即2y=ysinx-cosx利用①
=√(y²+1)sin(x-θ)其中tanθ=1/y
因为|sin(x-θ)|≤1
即|2y/√(y²+1)|≤1
4y²/(y²+1)≤1
3y²≤1
|y|≤1/√3
y=cosX/(sinX-2)的值域为[-1/√3,+1/√3]
方法2
令A=sinxB=cosx
则下面关于A、B的方程组有解
Ay-B-2y=0①
A²+B²=1②
其几何意义是：直线①和圆②相交,所以,圆②的中心(0,0)到直线①的距离小于半径1
即：|2y|/√(y²+1)≤1------------------后面省略
方法3,我自己凑的方法,不建议使用,因为结果并不明显嘛
由于±1/√3是抛物线方程f(t)=t²-1/3=0的两个根,
只要能够证明f(y)≤0,就说明y=cosX/(sinX-2)将介于其两根之间,→你画个图就知道了
f(y)=y²-1/3=[cosX/(sinX-2)]²-1/3=.略...=-(2sinx-1)²/[3(sinX-2)²]≤0
Gameisover!
方法4：算了,不做了,还有很多
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