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设N是一个正奇数,证明:数N=2269^n+1779^n+1730^n-1776^n是2001的倍数很急,望各位数学高手相助还有一题:小张和小王玩一种扑克牌游戏,小张先取,每次允许从中抽1张或质数张牌,取到最后一张的
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问题描述:

设N是一个正奇数,证明:数N=2269^n+1779^n+1730^n-1776^n是2001的倍数

很急,望各位数学高手相助

还有一题:小张和小王玩一种扑克牌游戏,小张先取,每次允许从中抽1张或质数张牌,取到最后一张的人获胜,谁有必胜的策略?

常佳忠回答:
  第一题无解   原因如下:   9为尾数的n次方n为偶数时尾数是1,奇数时尾数为9   0为尾数的n次方任意数为0   6为尾数的n次方任意数为6   三者在n为0时均为1,n为负数时为小数.   所以以上四数对应的尾数如下   9191.....   9191.....   0000.....   6666.....   代入N可得无论n为什么,N都不可能为一个正奇数.何谈是2001的倍数呢.
刘英姿回答:
  用二项式定理解   2269^n=(2001+268)^n展开式中除最后一项外,都有因数2001,都能被2001整除,最后一项是268   1779^n=(2001-222)^n   1730^n=(2001-271)^n   1776^n=(2001-225)^n   因为n是一个正奇数,所以上面三个展开式中最后一项分别是   -222-271-228其余项都能被2001整除   剩下的是268-222-271+225=0   所以原式能被2001整除
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