如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=，E是BD的中点．(Ⅰ)求证：EC∥平面APD；(Ⅱ)求BP与平面ABCD所成角的正切值；(Ⅲ)求二面角P-AB-D的大小．____
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问题描述：
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=，E是BD的中点．
(Ⅰ)求证：EC∥平面APD；
(Ⅱ)求BP与平面ABCD所成角的正切值；
(Ⅲ)求二面角P-AB-D的大小．____
刘前军回答：
【分析】(Ⅰ)取PA中点F，连接EF、FD，可得EF∥AB且，证明四边形EFDC是平行四边形，再利用直线与平面平行的
判定定理进行证明；
(Ⅱ)取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD内的射影，∠PBH是PB与平面ABCD所成角，从而求解．
(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，构造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．
证明(Ⅰ)如图，取PA中点F，连接EF、FD，
∵E是BP的中点，
∵EF∥AB且，
又∵
∴EFDC
∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD.
又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD
∴EC∥平面ADE；
(Ⅱ)取AD中点H，连接PH，
因为PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角
∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是直角梯形
设AB=2a，则，
在ΔABD中，易得∠DBA=45°，
∴，
又∵BD2+AD2=4a2=AB2，
∴ΔABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴
∴在RtΔPHB中，；
(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，
则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a
，
又∠HAB=45°
∴
在RtΔPHG中，
∴二面角P-AB-D的大小为.
【点评】此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面的夹角问题，此类问题一般先找出所求教，然后构造直角三角形，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，计算时要仔细．
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