【对于给定数列，如果存在实常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．(1)若，，数列是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；(2)证明：】
1人问答
问题描述：
对于给定数列，如果存在实常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．
(1)若，，数列是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
(2)证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”；
(3)若数列满足，，t为常数，求数列前2009项的和，并判断是否为“M类数列”，说明理由；
(4)根据对(2)(3)问题的研究，对数列的相邻两项、，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．____
孙学波回答：
【分析】(1)的解题思路是判断{an}，{bn}是否满足“M类数列”的定义：存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，找到常数p、q是解决问题的关键．
n(2)是看数列{an+an+1}是否也满足“M类数列”的定义，根据已知想办法将数列{an+an+1}的通项公式转化为“M类数列”的一般形式．
n(3)要先求出数列{an}的通项公式，然后利用(1)的解法解决问题．
n(4)是要根据(2)、(3)的结论，进行归纳，大胆猜想出一个与“M类数列”相关的真命题，原则是尽可能的要简单，以便后续的证明．
(1)因为an=2n，则有an+1=an+2，n∈N*，
n故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
n因为bn=3•2n，则有bn+1=2bn，n∈N*，
n故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
n证明：(2)若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q，
n使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
n且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
n因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立，
n故数列{an+an+1}也是“M类数列”，对应的实常数分别为p，2q．
n(3)因为an+an+1=3t•2n(n∈N*)，
n则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•24，…，
na2006+a2007=3t•22006，a2008+a2009=3t•22008，
n数列{an}前2009项的和S2009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2006+a2007)+(a2008+a2009)
n=2+3t•22+3t•24+…+3t•22006+3t•22008=2+t(22010-4)，
n若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
n使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
n且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立
n因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立，
n而an+an+1=3t•2n(n∈N*)，则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*，都成立，
n可以得到t(p-2)=0，q=0，
n①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
n②当t=0，q=0时，an+1=-an，an=2(-1)n-1，p=-1，经检验满足条件．
n因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0，或-1，0．
n(4)命题一：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an-an+1}也是“M类数列”．
n逆命题：若数列{an-an+1}是“M类数列”，则数列{an}也是“M类数列”．
n当且仅当数列{an-an+1}是常数列、等比数列时，逆命题是正确的．
n命题二：若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列”
n逆命题：若数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列”则数列{an}是等比数列．
n逆命题是正确的．
【点评】归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．
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