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【平面向量已知在三角形ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且Ac=2NC,AM与BN相交于P,求AP与PM的比值.图自己可以画的】
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问题描述:

平面向量

已知在三角形ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且Ac=2NC,AM与BN相交于P,求AP与PM的比值.

图自己可以画的

马治家回答:
  向量法:   设BM=e1,CN=e2,   则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线,   ∴存在λ、μ∈R,使得   AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.   故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,   由基本定理得λ+2μ=23λ+μ=3λ=4/5μ=3/5   ∴AP∶PM=4∶1.   几何法:   过M做MD//BN交AC于D   M是BC的中点   ==>DC=DN=(1/2)NC   AN=2NC===>DN=(1/4)AN   PN//MD===>AP:PM=AN:ND=4:1
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