向量法:
设BM=e1,CN=e2,
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线,
∴存在λ、μ∈R,使得
AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.
故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,
由基本定理得λ+2μ=23λ+μ=3λ=4/5μ=3/5
∴AP∶PM=4∶1.
几何法:
过M做MD//BN交AC于D
M是BC的中点
==>DC=DN=(1/2)NC
AN=2NC===>DN=(1/4)AN
PN//MD===>AP:PM=AN:ND=4:1