数列an的前n项和记为sn,已知a1=1an+1=（n分之n+2）乘sn（n=1,2,3,...)求证1.数列n分之sn是等比数列2.sn+1=4an
1人问答
问题描述：
数列an的前n项和记为sn,已知a1=1an+1=（n分之n+2）乘sn（n=1,2,3,...)求证
1.数列n分之sn是等比数列
2.sn+1=4an
李胜家回答：
(1)由已知有：
S[n+1]=S[n]+a[n+1]=S[n]+(n+2)/n*S[n]
==>S[n+1]/(n+1)=2S[n]/n
==>{S[n+1]/(n+1)}/{S[n]/n}=2
可知{S[n]/n}为公比为2的等比数列；
(2S[1]=a[1]=1,因此
S[n]/n=(S[1]/1)*2^(n-1)=2^(n-1)
==>S[n]=n*2^(n-1)
a[n]=S[n]-S[n-1]=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)=(n+1)*2^(n-2)
S[n+1]=(n+1)*2^n=4*(n+1)*2^(n-2)
==>S[n+1]=4a[n]
结论得证
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