求3题数学题.（初一）请求讲解.1.已知x^4-6x^3+13x^2+kx+4是一个完全平方公式,求常数k的值,并将X^4-6x^3+13x^2+kx+4分解因式.2.设x^2+mx+n（m,n是整数）既是x^4-3x^2+9的因式,也是3x^4-17x^2+24x+3的一个因式,当
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问题描述：
求3题数学题.（初一）请求讲解.
1.已知x^4-6x^3+13x^2+kx+4是一个完全平方公式,求常数k的值,并将X^4-6x^3+13x^2+kx+4分解因式.
2.设x^2+mx+n（m,n是整数）既是x^4-3x^2+9的因式,也是3x^4-17x^2+24x+3的一个因式,当x=1时,求x^2+mx+n的值
3.k取何值时,x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24可以分解为两个一次式的积?
曹萃文回答：
设x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=(x^2-mx+n)^2
=x^4-2mx^3+(m^2+2n)x^2-2mnx+n^2,
对比系数知,
2m=6,
n^2=4,
m^2+2n=13,
-2mn=k,
解得,
m=3,
n=2,
k=-12
x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=x^4-6x^3+13x^2-12x+4
=(x^2-3x+2)^2
因为x^2+mx+n是x^4-3x^2+9的因式
所以x^4-3x^2+9=A(x^2+mx+n).1
同理
3x^4-17x^2+24x+3=B(x^2+mx+n).2
2式-1式*3得
3x^4-17x^2+24x+3-3x^4+9x^2-27=(B-3A)(x^2+mx+n)
-8x^2+24x-24=(B-3A)(x^2+mx+n)
则B-3A=(-8x^2+24x-24)/(x^2+mx+n)
因为A和B是整式
所以B-3A是整式
B-3A是两个二次式的商,所以是0次的,即是常数
而且因为B-3A是整式
所以是整数
x^2系数的商是-8
所以B-3A=-8
-8x^2+24x-24=-8(x^2+mx+n)
x^2+mx+n=x^2-3x+3
当x=1时,
x^2+mx+n=x^2-3x+3
=1-3+3
=1
设x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)
(x+ay+b)(x+cy+d)
=x^2+acy^2+(a+c)xy+(b+d)x+(ad+bc)y+bd
=x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24
所以
ac=k
a+c=7
b+d=-5
ad+bc=43
bd=-24
解得
a=-2
b=3
c=9
d=-8
k=-18
即x^2+7xy-18y^2-5x+43y-24=(x+9y-8)(x-2y+3)
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