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(2011•宁德模拟)如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.(Ⅰ)求证:直线DE与平面FGH平行;(Ⅱ)若点P在直线GF上,且二面角
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问题描述:

(2011•宁德模拟)如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.

(Ⅰ) 求证:直线DE与平面FGH平行;

(Ⅱ)若点P在直线GF上,且二面角D-BP-A的大小为π4,试确定点P的位置.

胡晓冬回答:
  (Ⅰ)证明:取AD的中点M,连接MH,MG.   ∵G,H,F分别是AE,BC,BE的中点,   ∴MH∥AB,GF∥AB,   ∴MH∥GF,即GFHM四点共面   又由M,G是中点,可得MG∥DE   因为DE⊄平面MGFH,MG⊂平面MGFH,   ∴DE∥平面MGFH,即直线DE与平面FGH平行.   (Ⅱ)如图,在平面ABE内,过A作AB的垂线,记为AP,则AP⊥平面ABCD.   以A为原点,AP、AB、AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立建立空间直角坐标系A-xyz.A(0 ,0 ,0) ,B(0 ,4 ,0) ,D(0 ,0 ,2) ,E(23,−2,0) ,G(3,−1,0),F(3,1,0)
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