用数学归纳法证明:cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^n)=sinx/[2^n×sin(x/2^n)]当n=k+1时,怎么证的?
1人问答
问题描述：
用数学归纳法证明:cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^n)=sinx/[2^n×sin(x/2^n)]
当n=k+1时,怎么证的?
洪钟威回答：
前面验证初值,假设就省略了.
当n=k+1时,
左边=cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^k)×cos[x/2^(k+1)]=sinx×cos[x/2^(k+1)]/[2^k×sin(x/2^k)]
由于,sin(x/2^k)=2×sin[x/2^(k+1)]×cos[x/2^(k+1)]
所以左边=sinx×cos[x/2^(k+1)]/{2^k×2×sin[x/2^(k+1)]×cos[x/2^(k+1)]}=sinx/{2^(k+1)×sin[x/2^(k+1)]}=右边
所以等式对于n=k+1时也成立.
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