【已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象】|小学数学问答-字典翻译问答网

【已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象】

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问题描述：

已知函数g（x）=asinx+bcosx+c

（1）当b=0时，求g（x）的值域；

（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．

（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…，且xn-xn-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

陈暮春回答：

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　　（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．当a=0时，值域为：{c}．当a≠0时，值域为：[c-|a|，c+|a|]．（2）当a=1，c=0时，∵g（x）=sinx+bcosx且图象关于x=对称，∴||=，∴b=-．∴函数y=bsinx+acosx即：y=-sinx+cosx=cos（x+）．由x+=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ-，k∈z．（3）由g（x）=asinx+bcosx+c=sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．由g（x）图象上有一个最低点（，1），所以，∴，∴g（x）=（c-1）sin（x-）+c．又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c-1）sinx+c．又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1、x2、x3…xn、…，且xn-xn-1=3（n≥2），所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，即：2c-1=3或1-c+c=3（矛盾）或=3，解得c=2或c=3．当c=2时，函数的f（x）=sin+2，T=6．直线y=3和f（x）=sin+2相交，且xn-xn-1=3（n≥2），周期为3（矛盾）．当c=3时，函数f（x）=2sin+3，T=6．直线直线y=3和f（x）=2sin+3相交，且xn-xn-1=3（n≥2），周期为6（满足条件）．综上：f（x）=2sin+2．　　分析：　　（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0两种情况，分别求出函数g（x）的值域．（2）当a=1，c=0时，由g（x）=sinx+bcosx，且图象关于x=对称，求出b的值，可得函数y=cos（x+），由x+=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函数的对称轴方程．（3）由g（x）图象上有一个最低点（，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-）+c．再由函数图象的变换规律求得f（x）=（c-1）sinx+c．由题意可得，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，或过f（x）的对称中心．分别求出c的值，再检验得出结论．　　点评：　　本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．