求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角阵[2,-2,0；-2,1,-2；0-2,0]
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问题描述：
求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角阵[2,-2,0；-2,1,-2；0-2,0]
孙永荣回答：
|A-λE|=
2-λ-20
-21-λ-2
0-2-λ
r1+(1/2)(2-λ)r2-r3
0(1-λ)(2-λ)/2-2(1-λ)
-21-λ-2
0-2-λ
第1行提出(1-λ),再按第1列展开=2乘
(2-λ)/2-2
-2-λ
2乘到第1行上
2-λ-4
-2-λ
=λ^2-2λ-8=(λ-4)(λ+2)
所以|A-λE|=(1-λ)(λ-4)(λ+2)
特征值为1,4,-2
A-E化成行简化梯矩阵
101
011/2
000
特征向量为:(2,1,-2),单位化得a1=(2/3,1/3,-2/3)'
A-4E化成行简化梯矩阵
10-2
012
000
特征向量为:(2,-2,1),单位化得a2=(2/3,-2/3,1/3)'
A+2E化成行简化梯矩阵
10-1/2
01-1
000
特征向量为:(1,2,2),单位化得a3=(1/3,2/3,2/3)'
则P=(a1,a2,a3)是正交矩阵,且有P^-1AP=diag(1,4,-2)
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