在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式2.求的最大值
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问题描述：
在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式2.求的最大值
段志蓉回答：
解
(1)a(n+1)=-an+3^n
两边同时除3^n得
a(n+1)/3^n=-an/3^n+1
这里注意变形
a(n+1)/3^n=(-1/3)*3*an/3^n+1
a(n+1)/3^n=(-1/3)*an/3^(n-1)+1
设数列{bn}令bn=an/3^(n-1)得
b(n+1)=(-1/3)bn+1其中b1=a1/3^(n-1)=0
两边同时减3/4(这里用了构造法中X=p/q-1,即
1/[(-1/3)-1])得
b(n+1)-3/4=(-1/3)bn+1-3/4
b(n+1)-3/4=(-1/3)bn+1/4
b(n+1)-3/4=(-1/3)(bn-3/4)
所以{bn-3/4}是首项为-3/4公比为-1/3的等比数列
即bn-3/4=(-3/4)*(-1/3)^(n-1)
bn=(-3/4)*(-1/3)^(n-1)+3/4
因为bn=an/3^(n-1)
所以an=[(-3/4)*(-1/3)^(n-1)+3/4]*3^(n-1)
最后化简得an=(3/4)[3^(n-1)+(-1)^n]
(2)没有最大值只有最小值
最小值由通项可以知道
当n=1时an最小a1=0
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