【基本初等函数的问题已知函数f(x)=(1/x)-x设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围】
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问题描述：
基本初等函数的问题
已知函数f(x)=(1/x)-x设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围
田玉书回答：
以下是我的解法,仅供参考
f(x)f(y)=(1/x-x)(1/y-y)=(1-k＾2)/xy+xy+2≥(k/2-2/k)＾2
设xy=m∵x+y=k且X,Y∈(0,k)∴0＜m＜k＾2
则原不等式可变为H(m)=m＾2+(4-k＾2/4-4/k＾2)m+(1-k＾2)≥0
∴H(m)≥0对于任意m∈(0,k＾2)恒成立
函数H(m)的对称轴为m=2/k＾2+k＾2/8-2
1°当2/k＾2+k＾2/8-2≤0时,即8-4√3≤k＾2≤8+4√3时,只需
H(0)=1-k＾2≥0且H(k＾2)=k＾4+(4-k＾2/4-4/k＾2)k＾2+(1-k＾2)≥0
解得0＜k＾2≤1,即0＜k≤1
2°当0＜2/k＾2+k＾2/8-2＜k＾2即k＾2＞8+4√3时只需
△≤0,解得空集
3°当2/k＾2+k＾2/8-2≥k＾2时,即0＜k＾2≤(-8+4√11)/7时,只需
H(0)=1-k＾2≥0且H(k＾2)=k＾4+(4-k＾2/4-4/k＾2)k＾2+(1-k＾2)≥0
解得0＜k＾2≤(-8+4√11)/7
又∵K=2时,也成立
综上所述:0＜k≤1或k=2
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