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设F1,F2分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F1做斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,且AF2,F1F2,BF2成等差数列.求椭圆C的离心率
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问题描述:

设F1,F2分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F1做斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,且AF2,F1F2,BF2成等差数列.求椭圆C的离心率

刘绍龙回答:
  设A(x1,y1),B(x2,y2),左焦点(-c,0)   则直线l:y=x+c   由题意得   |AF2|+|BF2|=2|AB|   ∵|AF1|+|AF2|=2a.①   |BF1|+|BF2|=2a.②   ①+②得   (|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=4a   即|AB|+2|AB|=4a   |AB|=4a/3   根据焦半径公式有   |AF1|=a+ex1   |BF1|=a+ex2   ∴|AB|=|AF1|+|BF1|=2a+e(x1+x2)=4a/3   ∴e(x1+x2)=-2a/3   联立椭圆和直线   y=x+c   x²/a²+y²/b²=1,得   (a²+b²)x²+2a²c+a²c²-a²b²=0   把b²=a²-c²代入,得   (2a²-c²)x²+2a²cx+(2c²-a²)a²=0   ∴e(x1+x2)=e[-2a²c/(2a²-c²)]=-2a/3   e(ac)/(2a²-c²)=1/3(左右约去-2a)   e(c/a)/[2-(c/a)²]=1/3(上下同时除以a²)   e²/(2-e²)=1/3   e=√2/2
孟克楠回答:
  是F1F2不是AB!!!
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《设F1,F2分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F1做斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,且AF2,F1F2,BF2成等差数列.求椭圆C的离心率|小学数学问答-字典翻译问答网》
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