一道数学题黑板上写有1,2,3,...2007共2007个自然数,现在任意擦去若干个数,然后填上被擦去数之和除以2006的余数,称为一次操作.（1）经若干次操作后,只剩下一个数,求该数.（2）经若干次操作后,
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问题描述：
一道数学题
黑板上写有1,2,3,...2007共2007个自然数,现在任意擦去若干个数,然后填上被擦去数之和除以2006的余数,称为一次操作.
（1）经若干次操作后,只剩下一个数,求该数.
（2）经若干次操作后,只剩下两个数,一个数是2005,求另一个数.
要有解题过程,非常感谢!
彭光俊回答：
（1）本来2007个数之和设为s0,s0=1+2+3+…+2007=（1+2007）*2007/2=1004*2007,
s0≡1004*2007≡1004*（2006+1）≡1004*2006+1004≡1004（mod2006）
第一次操作填上的数为任意,本来2007个数之和就因为第一次操作之后减少了n1,n1≡0（mod2006）,
第一次操作后第二次操作前剩余的数的总和为s1≡s0-n1≡s0（mod2006）,同理,s2≡s1﹙mod2006﹚,n次操作后,sn≡sn-1≡...≡s1≡s0-n1≡s0≡1004（mod2006）,即是有限次操作后只剩一个数,那么剩余的数的和当然就等于这个数,并且显然这个数不能再大于2006,且为非负整数,即是sn=1004
（2）由上,最后剩余的两个数之和sn≡1004（mod2006）,另一个数设为x,x不能再大于2006,且为非负整数,
x+2005≡1004（mod2006）,
x+(2005+1)≡1004+1（mod2006）,
x≡1005（mod2006）,由上x只能取1005
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