【已知二次函数Y=X2-2X-3的图象与X轴交于点A、B,与Y轴交于点C,试问抛物线上是否存在点P,使得三角形PAB的面积=三角形ABC的面积的4/3,若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.】
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问题描述：
已知二次函数Y=X2-2X-3的图象与X轴交于点A、B,与Y轴交于点C,试问抛物线上是否存在点P,使得三角形PAB的面积=三角形ABC的面积的4/3,若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.
高维民回答：
y=x^2-2x-3
两根之和为x1+x2=2积为x1x2=-3
(|AB|)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16
|AB|=4
y轴交点C距离|AB|的距离为|f(0)|=3
所以这个三角形ABC的面积是6
要使得三角形PAB的面积=三角形ABC的面积的4/3
即要三角形PAB面积是8
即要满足1/2|AB|*h=8h=4
即要找是否存在点x0,使得|f(x0)|=4
y=x^2-2x-3的最小值是f(1)=-4
可见当函数取顶点的时候是满足条件的,即第一个P点坐标(1,-4)
然后就是f(x0)=4求出这样的2个点
(x0)^2-2x0-7=0x0=1-2根号2和x0=1+2根号2
所以存在这样的点P,是
(1,-4)(1-根号2,4）（1+根号2,4）
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