已知函数(a>0)，且f'(1)=0(1)试用含有a的式子表示b，并求f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)的最大值为g(a)，试证明不等式：(3)首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点，，如果在函数图象上存
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问题描述：
已知函数(a>0)，且f'(1)=0
(1)试用含有a的式子表示b，并求f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)的最大值为g(a)，试证明不等式：
(3)首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点，，如果在函数图象上存在点，使得f(x)在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f(x)的图象上是否存在两点，，使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．____
常会友回答：
【分析】(1)根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数，利用f′(1)=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
(2)根据(1)求出函数f(x)的最大值为g(a)，构造函数φ(a)=ln()-，利用导数研究该函数的最值，即可证明结论；
(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
∵f′(x)=，
∴b=a-1，
∴f′(x)=，
当f′(x)>0时，得-，
∵x>0，a>0，解得0<x<1，
当f′(x)<0时，得-，
∵x>0，a>0，解得x>1，
∴当f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；
(2)证明：g(a)=f(1)=，f′(x)=(x>0)，
令φ(a)=ln()-，则φ′(a)=0，
∴φ(a)在(0，+∞)上是减函数，
∴φ(a)<φ(0)=0，即ln()-0，
(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”，
则kAB=+a-1，
f′()=，
又kAB=f′()得，
∴ln=t，(t>1)，则lnt=2-，(t>1)，此式表示有大于1的实数根，
令h(t)=lnt+-2(t>1)，则h′(t)=>0
∴h(t)是(1，+∞)上的增函数，
∴h(t)>h(1)=0，与lnt=2-，(t>1)有大于1的实数根相矛盾，
∴函数f(x)的图象上不存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”．
【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．
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