已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断ap
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问题描述：
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断ap，aq，ar是否成等比数列？并说明理由．
李乃昌回答：
（1）由已知a1=1，an+1=2an+1，
可得，n=1时，a2=2+1=3；
n=2时，a3=6+1=7；
n=3时，a4=14+1=15．…（3分）
…
由此猜想 an=2n-1．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，a1=21-1=1，满足条件．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=2k-1．…（7分）
则n=k+1时，
ak+1=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（9分）
（2）∵p，q，r成等差数列，
∴p+r=2q．
假设ap，aq，ar成等比数列，
则ap•ar=aq2，…（10分）
即（2p-1）（2r-1）=（2q-1）2，
化简得：2p+2r=2×2q．（*） …（11分）
∵p≠r，
∴2p+2r＞2
2
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