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数学课堂上,陈老师出示一道试题:如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点.若∠AMN=60°,求证:AM=MN.(1)经过思
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问题描述:

数学课堂上,陈老师出示一道试题:

如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点.若∠AMN=60°,求证:AM=MN.

(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程.请你将证明过程补充完整.

证明:在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM.

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,

∴∠1=∠2.又CN平分∠ACP,∠4=12∠ACP=60°,∴∠MCN=∠3+∠4=120°.①

又∵BA=BC,EA=MC,∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM.∴△BEM为等边三角形.∴∠6=60°.

∴∠5=180°-∠6=120°.②

∴由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中,______,______,______,

∴△AEM≌△MCN(ASA).∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(正方形四条边都相等、四个角都是直角)(如图2),N1是∠D1C1P1的平分线上一点,则当∠A1M1N1=90°时,结论A1M1=M1N1是否还成立?(写出答案,并仿照(1)证明)

柯平回答:
  (1)证明:在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM.   ∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,   ∴∠1=∠2.   又∵CN平分∠ACP,∠4=12
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