八下数学题目四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M`N分别在AD和BC边上移动,且DM=BN.过点N作NP垂直BC,交AC于点P,连接MP.某位同学在研究中发现,当点N在BC边的移动时,关系式PN/CN=AB/BC恒成立.请根据以上信
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问题描述：
八下数学题目
四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M`N分别在AD和BC边上移动,且DM=BN.过点N作NP垂直BC,交AC于点P,连接MP.某位同学在研究中发现,当点N在BC边的移动时,关系式PN/CN=AB/BC恒成立.请根据以上信息回答下列问题:
1)当DM=1/2时,PN的长
2)当三角形MPA是等腰三角形时,请直接写出DM的长
3)取PN的中点Q,连结DP`CQ当S四边形DPQC/S梯形PNBA=8/5时,求DM的长;并判断四边形DPQC为怎样的特殊四边形
冉晓强回答：
(1)
BN=DM=1/2
PN/AB=CN/BC=(5/2)/3=5/6
PN=10/3
(2)
设DM=X
如果AM=AP：
AP/BN=5/3,于是AP=5X/3,又AM=3-X
令AM=AP得3-X=5X/3
解得X=9/8
如果AM=MP：
做ME垂直AC,垂足为E
三角形MEA与ABC相似,于是AM/AE=AC/BC=5/3
AE=AP/2=5X/6,AM=3-X,代入上式解得X=54/43
如果AP=MP：
延长NP交AD于F,易知PF垂直平分AM
三角形PFA与ABC相似
AF/AP=BC/AC=3/5
AF=(3-X)/2,AP=5X/3,代入上式解得X=1
(3)设DM=X
DPQC面积=(CD+PQ)*CN/2,
PN/AB=(3-X)/3可得PN=(12-4x)/3,将PQ=PN/2和CD=4,CN=3-X代入面积公式
得DPQC面积=(3-X/3)*(3-X)
PNBA面积=(PN+AB)*BN/2=(4-2X/3)*X
将求出的面积公式代入SDPQC/S梯PNBA=8/5可得
7X^2-52X+45=0
解得X=1或X=45/7
45/7>3为本题的无效解
因此最终答案为DM=1
故为等腰梯形.
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