【一道高难度的数学题等边三角形的边长a=√25+（12√3）,点P是△ABC内的一点,且PA²+PB²=PC²,若PC=5,求PA、PB】
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问题描述：
一道高难度的数学题
等边三角形的边长a=√25+（12√3）,点P是△ABC内的一点,且PA²+PB²=PC²,若PC=5,求PA、PB
鲍俊峰回答：
在BC外作角BCD,使∠BCD=∠ACP,且CD=CP
连BD,PD
则△BCD≌△ACP
所以,BD=AP,∠CAP=∠CBD
因为∠PCD=∠PCB+∠BCD=∠PCB+∠ACP=60
所以,△PCD是等边三角形
所以,PD=PC=5
而PA^2+PB^2=PC^2,所以BD^2+PB^2=PD^2
所以,△PBD是直角三角形
∠PBD=90
即:90=∠PBD=∠PBC+∠CBD=∠PBC+∠CAP
而∠CAB+∠CBA=60+60=120
即:∠CAP+∠PAB+∠PBC+∠PBA=120
∠PAB+∠PBA=120-(∠PBC+∠CAP)=120-90=30
所以,∠APB=180-(∠PAB+∠PBA)=180-30=150
∠APB=150度
作AE⊥PB交PB延长线于E,
则∠APE=180-∠APB=180-150=30
设AP=x,BP=y,
则x^2+y^2=5^2
∠APE=180-∠APB=180-150=30
AE=AP/2=x/2,
PE=√3AE=√3x/2
BE=BP+PE=y+√3x/2
而:AE^2+BW^2=AB^2
所以,(x/2)^2+(y+√3x/2)^2=(√[25＋(12√3)])^2
x^2/4+y^2+√3xy+3x^2/4=25+12√3
x^2+y^2+√3xy=25+12√3
而,x^2+y^2=5^2=25
所以,√3xy=12√3
xy=12.(1)
2xy=24
x^2+y^2+2xy=25+24=49
(x+y)^2=49
x+y=7.(2)
解(1)(2)方程组得:
x=3,y=4
或x=4,y=3
即:
PA、PB的长一个是3,一个是4
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