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【如图,直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=14OA=2,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.(1)直】
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问题描述:

如图,直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=14OA=

2,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.

(1)直接写出D点的坐标;

(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;

(3)当△AEF是等腰三角形时,求y的值.

郝新回答:
  (1)如图(1),过点B作BM⊥OA于M,   ∵∠OAB=45°,   ∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×22=322,   ∵BD=14OA=2,   ∴OA=42,   ∴CD=BC-BD=OM-BD=42-322-2=322,   ∴D点的坐标是(322,322).(2分)   (2)连接OD,如图(2),由结论(1)知:D在∠COA的平分线上,   则∠DOE=∠COD=45°,   又∵在梯形DOAB中,∠BAO=45°,   ∴OD=AB=3,   由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°,   又∵∠2=∠DEA-45°,   ∴∠1=∠2,   ∴△ODE∽△AEF,   ∴325=326,   即:327=342-x   ∴y与x的解析式为:y=-329x2+423x;(6分)   (3)当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况.   ①当EF=AE时,如图(3),   ∴∠EFA=∠DEF=45°,   ∴DE∥AB,   又∵DB∥EA,   ∴四边形DEAB是平行四边形,   ∴AE=DB=2,   ∴AF=2AE=2,   ∴y=2;   ②当AF=AE时,如图(4),连接OD,   由(2)知△ODE∽△AEF,   则326=325,   即342-x=327,   则3y=42x-x2,①,   又OE+AE=42,即x+y=42②,   联立①②解得:y=42-3;   ③当EF=AF时,如图(5)
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