【已知函数，其中，b∈N，c∈Z．(1)若b>2a，且f(sinα)(α∈R)的最大值为2，最小值为-4，求f(x)的最小值；(2)若对任意实数x，不等式，且存在使得成立，求c的值．____】
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问题描述：
已知函数，其中，b∈N，c∈Z．
(1)若b>2a，且f(sinα)(α∈R)的最大值为2，最小值为-4，求f(x)的最小值；
(2)若对任意实数x，不等式，且存在使得成立，求c的值．____
方晓东回答：
【分析】(1)先由题找到x∈[-1，1]，f(x)max=2，f(x)min=-4再利用a∈N*，b∈N和b>2a，判断出函数在x∈[-1，1]上递增，再利用f(sinα)(α∈R)的最大值为2，最小值为-4，求出a，b，c．在利用配方法求出f(x)的最小值；
n(2)先由4≤f(1)≤4找到a+b+c=4①，再f(x)≥4x恒成立⇒Δ=(b-4)2-4ac≤0②，和f(x)≤2(x2+1)的结合求出a=1，c=1．(注意对二次项系数的讨论)．
(1)据题意x∈[-1，1]时，f(x)max=2，f(x)min=-4，.
n∵b>2a>0，
n∴，
n∴f(x)在[-1，1]上递增，
n∴f(x)min=f(-1)，f(x)max=f(1)，
n∴，
n解得b=3，a+c=-1.
n∵b>2a，
n∴.
n又a∈N*，
n∴a=1，
n∴c=-2.
n∴，
n∴．
n(2)由已知得，4≤f(1)≤4，
n∴f(1)=4，即a+b+c=4①.
n∵f(x)≥4x恒成立，
n∴ax2+(b-4)x+c≥0恒成立，
n∴Δ=(b-4)2-4ac≤0②.
n由①得b-4=-(a+c)，代入②得(a-c)2≤0，
n∴a=c.
n由f(x)≤2(x2+1)，得(2-a)x2-bx+2-c≥0恒成立.
n若a=2，则b=0，c=2，
n∴f(x)=2(x2+1)，不存在x0使f(x0)<2(x02+1)，与题意矛盾，
n∴2-a>0，∴a<2，
n又a∈N*，
n∴a=1，c=1．
【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及恒成立问题，是道综合题关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小．
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