【抛物线的标准方程如图所示,过抛物线y^2=2px(p>o)的焦点F作互相垂直的两条直线,交准线l与P、Q点,过P、Q分别的平行线交抛物线于M、N,求证：M、F、N三点共线】
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问题描述：
抛物线的标准方程
如图所示,过抛物线y^2=2px(p>o)的焦点F作互相垂直的两条直线,交准线l与P、Q点,过P、Q分别的平行线交抛物线于M、N,求证：M、F、N三点共线
彭晓晖回答：
A,B两点均在抛物线y^=2px上,∴可设A(y1^/2p,y1),B(y2^/2p,y2)
易知抛物线焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2
∵BC‖x轴,且C在准线上,∴C点坐标为：C(-p/2,y2)
过F的直线可设为：y=k(x-p/2)
将其与抛物线方程联立,消去x,得到关于y的一元二次方程：
y^-(2p/k)*y-p^=0
A,B为两曲线交点,∴此方程的两个实根必为A,B两点的纵坐标y1,y2,有：
y1*y2=-p^
y2=-p^/y1①
要想证明直线AC过原点O,只需证明三点共线即可
由：A(y1^/2p,y1),C(-p/2,y2),O(0,0),可求出：
kAO=(y1^/2p-0)/(y1-0)=y1/2p
kCO=(-p/2-0)/(y2-0)=-p/(2y2)
将①式代入kCO的表达式,可得：
kCO=-p/[2*(-p^/y1)]=y1/2p=kAO
由此可知,A,O,C三点共线,∴直线AC过原点O
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