【f(x)是在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y属于R都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立数列an满足an=f(2^n）（n属于正整数）且a1=2.则数列的通项公式为?】
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问题描述：
f(x)是在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y属于R都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立
数列an满足an=f(2^n）（n属于正整数）且a1=2.则数列的通项公式为?
范园园回答：
取y＝2,f(2x)=xf(2)+2f(x)＝2x+2f(x),令x＝2^(n-1),于是an＝f(2*2^(n-1))=2^n+2f(2^(n-1))=2^n+2a(n-1),n＝2,3,.递推有an＝2^n+2(2^(n-1)+2a(n-2))=2*2^n+4a(n-2)=2*2^n+4(2^(n-2)+2a(n-3))＝3*2^n+8a(n-3)=4*2^n+16a(n-4)=.=(n-1)*2^n+2^(n-1)a1=n*2^n.当n＝1时a1＝2＝1*2^1,因此an＝n*2^n,n＝1,2,.
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