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(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠
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问题描述:

(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PCO=∠POC?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

(3)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

毛明回答:
  (1)y=﹣x2+3x+4;(2)存在.点P的坐标是:(,2)或(,2);(3)存在.P的坐标是(2,6)或(﹣2,﹣6).   分析:   (1)求出点BC的坐标,设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解方程再即可;(2)线段OC的垂直平分线l:y=2与抛物线y=﹣x2+3x+4的交点即为点P;(3)假设存在,分以C为直角顶点和点A为直角顶点,两种情况讨论即可.试题   解析:   (1)由A(4,0),可知OA=4,∵OA=OC=4OB,∴OA=OC=4,OB=1,∴C(0,4),B(﹣1,0).设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,则,解得:,则抛物线的解析式是:y=﹣x2+3x+4;4分(2)存在.5分作线段OC的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P.∵C(0,4),O(0,0),∴直线l的表达式为y=2;.代入抛物线的表达式,得2=﹣x2+3x+4;6分解得,x=∴点P的坐标是:(,2)或(,2).............8分(3)存在.9分第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.∵∠ACP1=90°,∴∠MCP1+∠ACO=90°.∵∠ACO+∠OAC=90°,∴∠MCP1=∠OAC.∵OA=OC,∴∠MCP1=∠OAC=45°,∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1,设P(m,﹣m2+3m+4),则m=﹣m2+3m+4﹣4,解得:m1=0(舍去),m2=2.∴﹣m2+3m+4=6,即P(2,6).12分第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.∴P2N∥x轴,由∠CAO=45°,∴∠OAP=45°,∴∠FP2N=45°,AO=OF.∴P2N=NF,设P2(n,﹣n2+3n+4),则n=(﹣n2+3n+4)+4解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),∴﹣n2+3n+4=﹣6,则P2的坐标是(﹣2,﹣6).综上所述,P的坐标是(2,6)或(﹣2,﹣6);14分   考点:   1.待定系数法求解析式;2.两函数的交点坐标;3.一元二次方程;4.直角三角形的性质.
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《(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠|小学数学问答-字典翻译问答网》
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