已知二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4,且方程f(x)-7x-a=0有两个相等的实数是否存在实数m(m>0),使f(x)的定义域为[m,3],值域为[1,3m]?
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问题描述：
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4,且方程f(x)-7x-a=0有两个相等的实数
是否存在实数m(m>0),使f(x)的定义域为[m,3],值域为[1,3m]?
黄成凤回答：
因为二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4所以-b/2a=7/4又方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根所以方程f(x)=7x+a的判别式Δ=(b-7)^2-4a*0=0故b=7所以a=-2所以f(x)=-2x^2+7x-2(2)f(x)在[1,3]上的最大值是f(7/4)=-2*(7/4)^2+7*(7/4)-2=33/8f(x)在[1,3]上的最小值是f(3)=-2*3^2+7*3-2=1所以f(x)在[1,3]上的值域是[1,33/8](3)由(2)知f(3)=1若M=7/4,则3/M=12/7≠33/8,所以不符合那么M＞7/4则f(M)=-2M^2+7M-2=3/M所以2M^3-7M^2+2M+3=0解得唯有M=3符合,其余解不符合所以M=3
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