【如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重】|小学数学问答-字典翻译问答网

【如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重】

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问题描述：

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成
为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

刘艳娟回答：

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　　(1)y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4 (2)存在符合条件的P点(3)存在　　试题分析：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，由射影定理，得：OD2=OB•OC；则OB=OD2÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有： a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；（2）因为A（-2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立抛物线的解析式可求得F（1- ，3- ），G（1+ ，3+ ）；设P点坐标为（x，x+2）（1- ＜x＜1+ ），则Q（x，-x2+3x+4）； ∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2；易知M（，）。若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直角顶点，PQ为斜边，则P（2- ，4- ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）或（，）；（3）易知N（，），M（，）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，-m2+3m+4）；（1- ＜m＜1+ ） ∴PQ=-m2+2m+2，NM= ； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：-m2+2m+2= ，解得m=，m=（舍去）；当m= 时，P（，），Q（，）此时PM≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN，此时P点坐标为（，）．∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．