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已知函数f(x)=ex+2x2-3x. (Ⅰ)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点
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问题描述:

已知函数f(x)=ex+2x2-3x. (Ⅰ)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点

任小晶回答:
  证明:求导函数可得f'(x)=ex+4x-3   ∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0   ∴f'(0)•f'(1)<0.…3分   令h(x)=f'(x)=ex+4x-3,则h'(x)=ex+4>0   ∴f'(x)在区间[0,1]上单调递增,   ∴f'(x)在区间[0,1]上存在唯一零点,   ∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点
凌芸回答:
  当x大于等于1时,若关于x的不等式f(x)大于等于ax恒成立求a的范围
任小晶回答:
  由f(x)≥ax,得ax≤ex+2x2-3x,   ∵x≥1,∴a≤   ex+2x2−3x/x   令g(x)=ex+2x2−3x/x   则g′(x)=(x−1)ex+2x2/x2   ∵x≥1,∴g'(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,   ∴gmin(x)=g(1)=e-1,   ∴a的取值范围是a≤e-1. 
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