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(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC
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问题描述:

(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1,在l左上方部分的面积为S2,记S为S1、S2的差(S≥0).

(1)求∠OAB的大小;

(2)当M、N重合时,求l的解析式;

(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;

(4)求S与b的函数关系式.

刘风霞回答:
  (1)过点B过BE⊥x轴,垂足为E.点E(4,0),   ∴BE=4,AE=4,   ∴△ABE为等腰直角三角形,   ∴∠OAB=45°,   答:∠OAB=45°.   (2)当点M、N重合时,   ∵S≥0,   ∴应重合到点C(0,4),   ∵把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,   ∴直线l的解析式y=x+4.   (3)四边形OABC的面积为12×4(4+8)=24,   直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.   当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.   过点N作x轴的垂线NH,   则NH=AH=MH,   设NH=a,   12×2a×a=12,   解得:a=23,   ∴OH=8-23,   ∴点N的坐标为(8-23,23),   代入y=x+b得:b=43-8.   答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是43-8.   (4)分为三种情况:①如图在N1、M1时,当43-8≤b<0时,   OM=-b,AM=8-(-b)=8+b,   设直线AB的解析式是y=cx+d,   把A(8,0),B(4,4)代入得:0=8c+d4=4c+d,   解得:120,   y=-x+8,   解方程组121得:122y=123,   S1=12AM×NH=12×2×123×123=128b2+4b+16;   S2=24-S1,   S=|S1-S2|=128b2+4b+16-[24-(128b2+4b+16)]=12b2+8b+8,   ②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4-b,   S2=12(4-b)2,S1=24-S2,   S=S1-S2=-b2+8b+8,   ③-8<a<-8+43时,如图,在N3、M3时,S1=12×2×123×123=128b2+4b+16;   S2=24-S1,   S=S2-S1=[24-(128b2+4b+16)]-(128b2+4b+16)=-
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