存在一个完全平方数,数字之和是2005
只需看2005除以9的余数是否是0,1,4,7.
完全平方数的和应该有什么特征?显然是除以9的余数,只有这个才能把一个数和它的数字和联系起来,容易算出完全平方数被9除的余数只有四种可能:0,1,4,7,那我们就可以来试试看是不是所有的这样的数都可以作为完全平方数的数字和,算过几个比较小的数以后应该能得出结论了:所有的被9除余0,1,4,7的正整数都可以作为完全平方数的数字和,下一步就是如何构造它了,
我们希望能构造出来一类完全平方数的数字和像9k+1这种结构,一个最自然的想法就是能出现很多9,那么什么样的数的平方会出现很多9呢?当然就是像10^k-1,10^k-2这种数,我们来算算它们的平方的数字和是什么?
(10^k-1)^2=10^(2k)-2*10^k+1=99...9800...01
真是幸运,数字和正好是9k,这么构造一下就解决了一大类,再试几次就能够构造出另外几类的例子了。
解
容易证明完全平方数被9除的余数只能是0,1,4,7,显然1,4,7可以作为完全平方数的数字和,在加上下面构造的四类例子就能说明所有的9k,9k+1,9k+4,9k+7(k大于等于0)型的自然数都可以作为某个完全平方数的数字和:
(10^k-1)^2=10^(2k)-2*10^k+1=99...9800...01
(10^k-2)^2=10^(2k)-4*10^k+4=99...9600...04
(10^k-1)^2=10^(2k)-6*10^k+9=99...9400...09
(10^k-1)^2=10^(2k)-10*10^k+25=99...900...025