【如图,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC=60ˆ,O,H分别为△ABC的外心、垂心,直线OH分别与AB、AC交于点P、Q.证明:PO=HQ.】
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问题描述：
如图,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC=60ˆ,O,H分别为△ABC的外心、垂心,直线OH分别与AB、AC交于点P、Q.证明:PO=HQ.
梁正峰回答：
证明:连接AO、BO,作ON⊥AB于N,连接BH并延长交AC于E,连接AH并延长∵O为△ABC的外心,∴AN=NB=1/2AB∵H为△ABC的垂心,∴BE⊥AC又∠BAC=60ˆ∴∠ABE=30ˆ∴AE=1/2AB∴AE=AN∵∠AON=1/2∠AOB=∠C(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)∠AHE=∠C(都是∠HAE的余角)∴∠AON≅△AHE∴AO=AH,∠OAN=∠HAE∵AO=AH∴∠AOH=∠AHO∴∠AOP=∠AHQ∴△AOP≅△AHQ∴PO=HQ.
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