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我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5-6世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截
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问题描述:

我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5-6世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.

设:由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1;由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识,通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为()

A.16π

B.32π

C.64π

D.128π

马志奇回答:
  如图,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间,   用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,所得截面面积S1=π(42-4|y|),   S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|)   ∴S1=S2,由祖暅原理知,两个几何体体积相等,   ∵Γ2=12
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