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【求证:当0<x<y<e*e时,都有y-x>ylnx-xlny成立.】
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问题描述:

求证:当0<x<y<e*e时,都有y-x>ylnx-xlny成立.

阮芳回答:
  引入函数f(x)=(1-lnx)/x,则:   f′(x)=[(1-lnx)′x-(1-lnx)x′]/x^2=[-(1/x)x-(1-lnx)]/x^2=(lnx-2)/x^2.   显然,在区间(0,e^2)上,lnx<2,∴在区间(0,e^2)上,f′(x)<0,   ∴f(x)在区间(0,e^2)上是减函数,而0<x<y<e^2,∴f(x)>f(y),   ∴(1-lnx)/x>(1-lny)/y,∴y(1-lnx)>x(1-lny),∴y-ylnx>x-xlny,   ∴y-x>ylnx-xlny.
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