【已知：抛物线Y=1/2X^2-3X+C交于X轴正半轴于A,B两点,交Y轴于C点,过A,B,C三点作圆D,圆与Y轴相切,(1)求C的值（2）连接AC,BC,设角ACB=α,求tanα.(3)设抛物线定点为P,判断直线PA与原D的位置关系,并证明（3）】
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问题描述：
已知：抛物线Y=1/2X^2-3X+C交于X轴正半轴于A,B两点,交Y轴于C点,过A,B,C三点作圆D,圆与Y轴相切,
(1)求C的值
（2）连接AC,BC,设角ACB=α,求tanα.
(3)设抛物线定点为P,判断直线PA与原D的位置关系,并证明
（3）中是圆D
洪在地回答：
根据题意抛物线y=1/2x²-3x+c交于x轴正半轴,交y轴于c点,
则可知抛物线开口向上,且c＞0,
而y=1/2x²-3x+c=1/2(x-3)²-9/2+c
得出三个点的坐标为A(3-√9-2c,0)、B(3+√9-2c,0)、C(0,c),
抛物线的对称轴为x=3
又有过A,B,C三点的圆D与Y轴相切,则其切点为C(0,c),
故圆的半径为r=3,设圆D的圆心为O,则其坐标为(3,c),
过O点向x轴做垂线,交x轴于E(3,0),E点为AB的中点,
则有直角三角形AOE,AO=3,OE=C,AE=√9-2c,
根据勾股定理,有9=c²+(9-2c),解得c=0或2,又因为c＞0,故c=2;
角ACB为圆D的圆弧角(弧AB),角AOB为圆心角(弧AB),
则2倍角ACB=角AOB,而2倍角AOE=角AOB
故角ACB=角AOE,故tanα=AE/OE=√5/2（2分之根5）
直线PA与圆D是相切的关系
证明如下;
抛物线顶点P坐标为(3,-5/2),A(3-√5,0),
则有直角三角形AEP,AE=√5,EP=5/2,
根据勾股定理,AP=3√5/2(2分之3倍根5）,
又OP=OE+EP=2+5/2=9/2,OA=3,
则有OP²=AP²+OA²
故三角形OAP为直角三角形,故直线PA与圆D相切.
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