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(2014•郴州一模)如图,已知抛物线l1:y=x2-4与x轴相交于A,C两点.(1)若抛物线l2与抛物线l1关于x轴对称,求l2的解析式;(2)点B是抛物线l1上一动点(B不与A,C重合),以AC为对角线,A
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问题描述:

(2014•郴州一模)如图,已知抛物线l1:y=x2-4与x轴相交于A,C两点.

(1)若抛物线l2与抛物线l1关于x轴对称,求l2的解析式;

(2)点B是抛物线l1上一动点(B不与A,C重合),以AC为对角线,A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点是D,求证:D在抛物线l2上;

(3)探究:当B沿l1分别移动到x轴上方或下方时,▱ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,请指出它是什么特殊平行四边形,并求出其面积;若不存在,请说明理由.

黄祥林回答:
  (1)∵l1与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,   ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),   设y=ax2+4,   则4a+4=0,   解得a=-1,   ∴l2的解析式为y=-x2+4;   (2)证明:设B(x1,y1),   ∵点B在l1上,   ∴B(x1,x12-4),   ∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称,   ∴B、D关于O对称,   ∴D(-x1,-x12+4),   将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4,   ∴左边=右边,   ∴点D在l2上;   (3)设平行四边形ABCD的面积为S,   则S=2S△ABC=AC×|y1|=4|y1|,   ①当点B在x轴上方时,y1>0,   ∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,   ∴S既无最大值也无最小值;   ②当点B在x轴下方时,-4≤y1<0,   ∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,   ∴当y1=-4时,S有最大值16,但它没有最小值,   此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上,   ∴AC⊥BD,   ∴平行四边形ABCD是菱形,   此时S最大=16.
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