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已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=−14时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围.(文)(Ⅲ)利用ln(x+1)≤x,求证:ln{(1
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问题描述:

已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).

(1)当a=−14时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围.

(文)(Ⅲ)利用ln(x+1)≤x,求证:ln{(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)•…•[1+2n(2n−1+1)(2n+1)]}<1(其中n∈N*,e是自然对数的底数).

(Ⅲ)求证:(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)•…•[1+2n(2n−1+1)(2n+1)]<e(其中n∈N*,e是自然对数的底数).

董丽君回答:
  (Ⅰ)当a=−14时,f(x)=−14x2+ln(x+1)(x>-1),f′(x)=−12x+1x+1=−(x+2)(x−1)2(x+1)(x>-1),由f'(x)>0,解得-1<x<1,由f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减...
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