如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一|小学数学问答-字典翻译问答网

如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一

1人问答

问题描述：

如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

沙芦华回答：

网友采纳

　　(1)A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2）4；（3）（-2，3），（,），（4，15）．　　试题分析：（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．试题解析:（1）令y=0，得x2-1=0解得x=±1，令x=0，得y=-1∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2）∵OA=OB=OC=1，∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．∵AP∥CB，∴∠PAB=45°．过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，令OE=A，则PE=A+1，∴P（A，A+1）．∵点P在抛物线y=x2-1上，∴A+1=A2-1．解得A1=2，A2=-1（不合题意，舍去）．∴PE=3．∴四边形ACBP的面积S=AB•OC+AB•PE=×2×1+×2×3=4；（3）假设存在∵∠PAB=∠BAC=45°，∴PA⊥AC∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°在Rt△AOC中，OA=OC=1，∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=3，∴AP=3设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）①点M在y轴左侧时，则m＜-1．（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有．∵AG=-m-1，MG=m2-1．即解得m1=-1（舍去）m2=（舍去）．（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，即．解得：m=-1（舍去）m2=-2．∴M（-2，3）（10分）．②点M在y轴右侧时，则m＞1（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有∵AG=m+1，MG=m2-1∴解得m1=-1（舍去）m2=．∴M（，）．（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，即．解得：m1=-1（舍去）m2=4，∴M（4，15）．∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似M点的坐标为（-2，3），（,），（4，15）．考点:二次函数综合题．