在△ABC中,AB=AC,BD是∠B的平分线,交AC于D.(1)当∠A=100°时,求证：BC=BD+AD.（2）当∠A＞100°时,求证：BC＞BD+AD.
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问题描述：
在△ABC中,AB=AC,BD是∠B的平分线,交AC于D.(1)当∠A=100°时,求证：BC=BD+AD.（2）当∠A＞100°时,求证：BC＞BD+AD.
何彦青回答：
第一个问题：
作△ABD的外接圆交BC于E.
∵A、B、E、D共圆,∴∠EDC＝∠ABC.
∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ECD,又∠BAC＝100°,∴∠ABC＝∠ECD＝40°.
由∠EDC＝∠ABC、∠ABC＝∠ECD＝40°,得：∠EDC＝∠ECD＝40°,∴EC＝DE.······①
∵∠CBD＝（1/2）∠ABC＝20°,∴∠ADB＝∠CBD＋∠ACB＝20°＋40°＝60°,
∴∠BDE＝180°－∠ADB－∠EDC＝180°－60°－40°＝80°.
又∠BED＝∠EDC＋∠ECD＝40°＋40°＝80°,∴∠BED＝∠BDE,∴BE＝BD.······②
①＋②,得：BE＋EC＝BD＋DE,∴BC＝BD＋DE.
∵A、B、E、D共圆,又∠ABD＝∠DAE,∴AD＝DE,∴BC＝BD＋AD.
第二个问题：
作△ABD的外接圆交BC于E.
∵A、B、E、D共圆,∴∠EDC＝∠ABC.
∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ECD,∴∠EDC＝∠ECD,∴EC＝DE.
∵A、B、E、D共圆,又∠ABD＝∠DAE,∴AD＝DE,∴AD＝EC,
∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD.
∵∠BAC＞100°,又∠ABC＝∠ACB,∴∠ABC＝∠ACB＜40°,
∴∠DBE＝（1/2）∠ABC＜20°.
∵A、B、E、D共圆,∴∠DBE＝∠DAE,∴∠DAE＜20°,而∠BAC＞100°,
∴∠BAE＞80°,∴∠BDE＝∠BAE＞80°.
∵A、B、E、D共圆,∴∠CED＝∠BAC＞100°,∴∠BED＜80°,又∠BDE＞80°,
∴∠BDE＞∠BED,∴BE＞BD,∴BC＝BE＋AD＞BD＋AD.
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