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【(2010•东城区一模)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等,射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点,(1)求证:ME=MF;(2)若将原题中的】
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问题描述:

(2010•东城区一模)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等,射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点,

(1)求证:ME=MF;

(2)若将原题中的正方形改为矩形,且BC=2AB=4,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系.

牛瑞燕回答:
  (1)证明:过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥CD于点H.   ∴∠MGE=∠MHF=90°.   ∵M为正方形对角线AC、BD的交点,∴MG=MH.   又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°,   ∴∠1=∠2.   在△MGE和△MHF中   ∠1=∠2,   MG=MH,   ∠MGE=∠MHF.   ∴△MGE≌△MHF.   ∴ME=MF.(3分)   (2)①当MN交BC于点E,MQ交CD于点F时.   过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥CD于点H.   ∴∠MGE=∠MHF=90°.   ∵M为矩形对角线AC、BD的交点,   ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°.   ∴∠1=∠2.   在△MGE和△MHF中,   ∠1=∠2   ∠MGE=∠MHF   ∴△MGE∽△MHF.   ∴MEMF=MGMH
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