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如图,已知椭圆:,过点F(4,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.(1)线段MN是否恒过一个定点?如果经过定点,试求出它的坐标,如果不经过定点,试说明理由;(2)
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问题描述:

如图,已知椭圆:,过点F(4,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.

(1)线段MN是否恒过一个定点?如果经过定点,试求出它的坐标,如果不经过定点,试说明理由;

(2)求分别以AB,CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程.____

孙娆琴回答:
  【分析】(1)设出直线AB的方程,代入椭圆方程消去x,设A,B的坐标,根据韦达定理可求得y1+y2的表达式,根据直线方程可求得x1+x2的表达式,进而可求得点M的坐标,根据AB⊥CD,将t换成,即可求得N的坐标,进而可求得MN的直线方程,把y=0代入直线方程求得x=进而可推断出直线MN横过;   n(2)根据(1)可表示出以AB为直径的圆的方程,进而依据AB⊥CD,将t换成,即可表示出直线CD的方程,两方程相减即可求得公共弦所在的方程,与直线MN方程联解消去即可求得x和y的关系是,即以AB,CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程.   (1)设直线AB的方程为:x=ty+4,   n将直线AB的方程代入,并整理得(9t2+25)y2+72ty-81=0.   n设A(x1,y1),B(x2,y2),则有,,   n∴点.   n∵AB⊥CD,   n∴将t换成,得,   n由两点式得直线MN的方程为   n当y=0时,,   n∴直线MN恒过定点.   n(2)以弦AB为直径的圆M的方程为:.①   n又∵AB⊥CD,   n∴将t换成,即得以弦CD为直径的圆N的方程为:②   n①-②得两圆公共弦所在直线方程为:③   n又直线MN的方程为:④   n联解③④,消去,得两圆公共弦中点的轨迹方程为:.   n其轨迹是过定点的圆.   【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了考生分析推理和基本的运算能力.
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《如图,已知椭圆:,过点F(4,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.(1)线段MN是否恒过一个定点?如果经过定点,试求出它的坐标,如果不经过定点,试说明理由;(2)|初中政治问答-字典翻译问答网》
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