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【已知关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)用含n的代数式表示m2;(2)求证:关于x的m2x2-2mx-m2-2n2+3=0方程②必有两个不相等的实数根;(3)若方程①的一根的相反数恰好是】
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问题描述:

已知关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.

(1)用含n的代数式表示m2;

(2)求证:关于x的m2x2-2mx-m2-2n2+3=0方程②必有两个不相等的实数根;

(3)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式m2n+12n的值.

冯冰回答:
  (1)∵关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根,   ∴△1=b2-4ac=m2-4(n-1)×1=0,且n-1≠0,   解得,m2=4(n-1)(n≠1);   ∵m2≥0,n≠1.   ∴m2=4(n-1),且n>1.   (2)证明:由(1)知,m2=4(n-1)(n>1),即m≠0.   ∵关于x的m2x2-2mx-m2-2n2+3=0方程的二次项系数a=m2,一次项系数b=-2m,常数项c=-m2-2n2+3,   ∴△2=b2-4ac   =(-2m)2-4m2•(-m2-2n2+3)   =4m2•(m2+2n2-2)   =4m2•[4(n-1)+2n2-2]   =8m2(n+3)(n-1).   ∵m2>0,n>1.   ∴△2>0,   ∴方程②有两个不相等的实数根;   (3)由m2=4(n-1),得n-1=m
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