四、函数的值域和最值 　　思考：常见的求值域的方法有：（1）直求（利用的范围一点点向外求值域）；（2）反解（用表示求解）；（3）分离变量；（4）均值不等式；（5）换元为二次函数（或已知的函数）；（6）函数单调性（包括求导）；（7）用判别式求解；（8）线性规划知识. 　　注意：值域依赖于定义域,但不同的定义域可以有相同的值域. 　　预热题组：求下列函数的值域： 　　（1）；； 　　方法：换元 　　令,则 　　所以： 　　值域为： 　　（2）；； 　　方法：分离变量和直求 　　因为：,所以 　　即值域为： 　　（3）；； 　　方法：分段求,然后求并集.或看图象 　　答案： 　　（4）, 　　方法：求导看单调性 　　0x09 　　1x09 　　3 　　x09负x090x09正x09 　　1x09减x09极小值 　　增x0919 　　所以值域为： 　　例1：设m是实数,记M={m|m>1}, 　　(1)证明：当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义；反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M. 　　(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值. 　　(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 　　（1）证明：真数 　　当时,真数为正,即当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义 　　同样地,真数成立,即,所以若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M. 　　所以： 　　（3）由（2）则 　　当且仅当时取等号. 　　所以 　　例2：设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ0恒成立,试求实数a的取值范围. 　　,在上成立, 　　所以 　　（2）即恒成立,即,成立 　　,成立 　　令在区间上减,所以 　　满足,成立,即大于的最大值,所以 　　练习1：函数（）的值域是： 　　A.x09B.C.x09x09D. 　　方法：通过求导利用单调性（不能用均值,因为没有正数条件） 　　,函数单调减,所以,选B 　　练习2：函数的值域是： 　　A.x09x09B.C.Rx09x09D. 　　方法：换元成为二次函数求解 　　令,则 　　,即函数的最大值为,选A 　　练习3：一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于()2千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长). 　　方法：利用均值不等式求解 　　,当且仅当即千米/小时时取等号. 　　练习4：设为方程的两个实根,当m=_________时,有最小值_________. 　　方法：二次函数,注意有根条件 　　有两个实根,则,即或 　　当时,有最小值为 　　练习5：某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台) 　　(1)把利润表示为年产量的函数； 　　(2)年产量多少时,企业所得的利润最大? 　　(3)年产量多少时,企业才不亏本? 　　分析：利润等于收入减去成本 　　（1）当时, 　　当时, 　　即： 　　（2） 　　当,最大值为 　　当时,最大值 　　所以当生产475百台时,有最大利润为10.78125万元 　　（3）不亏本,就是或 　　解得：百台 　　答：略 　　练习6：已知函数 　　(1)若的定义域为,求实数a的取值范围； 　　(2)若f(x)的值域为,求实数a的取值范围. 　　（1）真数恒成立 　　当且时,即时成立 　　当时且,解得：或 　　所以,定义域为R,则或 　　（2）值域为R,则真数可取遍所有正数 　　当且时,即时成立 　　当时且,解得： 　　所以,值域为R,则 　　练习7：某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算,这些工时均用于生产)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 　　家电名称x09空调器x09彩电x09冰箱 　　工时x09 　　产值(千元)x094x093x092 　　问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) 　　设生产空调器台,彩电台,冰箱台,则有： 　　,求总产值的最值 　　当时,有最大总产值1050千元 　　答：略 　　练习8：在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之和为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记=x. 　　(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域. 　　(2)求函数f(x)的最小值. 　　且所以： 　　其中,即 　　（2） 　　,所以在,函数单减, 　　练习9：用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 　　设长、宽、高分别为,则有： 　　函数在上增,在上减,所以当时有最大容积为1.8立方米.