【已知点A(-√3,0)和B(√3,0),动点P到A,B两点的距离之和为4,设动点的轨迹C与直线l：y=kx+2交于MN两点,且以MN为直径的圆过原点O,求直线l的方程】
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问题描述：
已知点A(-√3,0)和B(√3,0),动点P到A,B两点的距离之和为4,设动点的轨迹C与直线l：y=kx+2交于MN两点,且以MN为直径的圆过原点O,求直线l的方程
李立芳回答：
显然P的轨迹是椭圆
2a=4
a=2,c=√3
所以b^2=1
x^2/4+y^2=1
y=kx+2
代入x^2+4y^2-1=0
(4k^2+1)x^2+16kx+15=0
x1+x2=-16k/(4k^2+1),x1x2=15/(4k^2+1)
y1+y2=k(x1+x2)+4=4/(4k^2+1)
所以MN中点是Q[-8k/(4k^2+1),2/(4k^2+1)]
OQ^2=64k^2/(4k^2+1)^2+4/(4k^2+1)^2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(16k^2-60)/(4k^2+1)^2
(y1-y2)^2=[k(x1-x2)]^2=k^2(x1-x2)^2
所以MN^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(k^2+1)(x1-x2)^2
圆过原点
MN^2=4OQ^2
(k^2+1)(16k^2-60)/(4k^2+1)^2=4(64k^2+4)/(4k^2+1)^2
16k^4-300k^2-76=0
k=19,k=-1/4
y=19x+2,y=-x/4+2
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